Esercizio 1.

Derivare le equazioni . Per derivare le equazioni vediamo prima che il risultato è il medesimo utilizzando invecie della funzione $P(x)$ la funzione $log(P(x))$. Infatti se abbiamo una funzione $g$ monotona crescente in un intervallo $I = ] a,b [$, ossia

$$\begin{eqnarray*} x > y \Rightarrow g(x) > g(y) \quad \forall x,y \in \quad I \end{eqnarray*}$$

allora si ha che i valori che annullano la derivata prima di una funzione $f(x)$ con $x$ in $I$ sono i medesimi che annullano la derivata prima di $g(f(x))$ in $I$. Infatti

$$\begin{eqnarray*} \frac{d g(f(x))}{d x} =& 0 = \\ \frac{d g}{d f} \frac{d f}{d x} =& 0 \Rightarrow \\ \frac{d f}{d x} =& 0 \\ \end{eqnarray*}$$

in quanto la definizione di $g$ implica che $\frac{d g}{d f} \geq 0$ per $f \in I$. Nel nostro caso assumendo $f=P(x_1,..,n_n)$ e cercando un massimo della probabilità $0<P\leq 1$ possiamo prendere come $g()=log()$. e le equazioni si semplificano ottenendo

$$\begin{eqnarray*} \partial log(P(x_1,..,x_n))/\partial \mu = 0 \\ \partial log(P(x_1,..,x_n))/\partial \sigma= 0 \end{eqnarray*}$$

Nel caso della derivata rispetto a $\mu$ abbiamo

$$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu) = 0 \quad \Rightar... ... \quad \Rightarrow \\ \mu = (\sum_{i=1}^{n} x_i)/n \end{array} \end{eqnarray*}$$

In modo analogo derivando cioè rispetto a $\sigma$ ricaviamo la seconda delle equazioni .